Question

【题目】已知函数，函数，，.

（1）求函数的单调区间；

（2）若，对恒成立，求的取值范围.（为自然对数的底数）

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】

（1）求出函数的导数，对分、两种情况讨论，利用导数可求得函数的单调区间；

（2）由题意可知对恒成立，取可得，由可得出，构造函数，利用导数求出函数在上的最大值，由此可求得实数的取值范围.

（1），，则，

当时，，则函数在上单调递增；

当时，令，可得；令，可得.

此时，函数在上单调递减，在上单调递增.

综上所述，当时，函数在上单调递增；

当时，函数在上单调递减，在上单调递增；

（2）由可得对恒成立，

取，可得，

因，则，，

则，，，

设，，

令，可得或.

当或时，；当时，.

所以，函数在上递减，在上递增，在上递减.

所以，所以.

因此，实数的取值范围是.