Question

【题目】过曲线的左焦点作曲线的切线，设切点为，延长交曲线于点，其中有一个共同的焦点，若，则曲线的离心率为________．

Answer 1

【答案】

【解析】

设双曲线的右焦点为，根据曲线与有一个共同的焦点，得到抛物线方程， 再根据O为的中点，M为的中点，利用中位线定理，可得，，，， .设，根据抛物线的定义可得，

过点作x轴的垂线，点到该垂线的距离为2a，然后在中，利用勾股定理求解.

如图所示：

设双曲线的右焦点为，则的坐标为，

因为曲线与有一个共同的焦点，

所以，

因为O为的中点，M为的中点，

所以OM为的中位线，

所以，

因为，所以

又，

所以.设，

则由抛物线的定义可得，

过点作x轴的垂线，点到该垂线的距离为，

在中，由勾股定理即得，

即，

即，

解得.

故答案为：