Question

【题目】如图所示的三棱台中，分别为的中点，，．

（1）求证：平面；

（2）求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）．

【解析】

（1）连接，根据分别为的中点，利用三角形中位线得到，再利用线面平行的判定定理证明.

（2）易证两两垂直，分别以，为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，分别求得平面和平面的一个法向量，代入公式求解.

（1）连接，因为分别为的中点，所以，

因为平面平面，

所以平面．

（2）由（1）得，

因为，

所以，

又因为，

所以平面，

所以，

因为，

所以平面，

所以两两垂直，

分别以，为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，

所以，

设平面的一个法向量为，

则即

令，则，

设平面的一个法向量为，

则，即

令，则，

，

因为二面角的平面角为锐角，

所以二面角的余弦值为．