题目内容

已知函数y=f（x）（x∈D），方程f（x）=x的根x₀称为函数f（x）的不动点；若a₁∈D，a_n+1=f（a_n）（n∈N^），则称{a_n} 为由函数f（x）导出的数列．
设函数g（x）= $数学公式$ ，h（x）= $数学公式$
（1）求函数g（x）的不动点x₁，x₂；
（2）设a₁=3，{a_n} 是由函数g（x）导出的数列，对（1）中的两个不动点x₁，x₂（不妨设x₁＜x₂），数列求证 $数学公式$ 是等比数列，并求 $数学公式$ ；
（3）试探究由函数h（x）导出的数列{b_n}，（其中b₁=p）为周期数列的充要条件．
注：已知数列{b_n}，若存在正整数T，对一切n∈N^都有b_n+T=b_n，则称数列{b_n} 为周期数列，T是它的一个周期．

解：（1） $\text{[math]}$ =x，即x²-x-2=0，得x₁=-1，x₂=2，
所以函数g（x）的不动点为x₁=-1，x₂=2．
（2）：a₁=3，a_n+1=g（a_n）= $\text{[math]}$ ，设c_n= $\text{[math]}$ ，
则c_n+1= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ c_n，c₁= $\text{[math]}$ =4．
所以数列{ $\text{[math]}$ }是等比数列，公比为 $\text{[math]}$ ，首项为4．
$\text{[math]}$ =4• $\text{[math]}$ 得a_n= $\text{[math]}$ ．
$\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ =2．
（3）：h（x）= $\text{[math]}$ =x，即cx²+（d-a）x-b=0．
因为△=（d-a）²+4ac＞0，所以该方程有两个不相等的实数根x₁，x₂．
b₁=p，b_n+1=h（b_n）= $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ ，
则{ $\text{[math]}$ }是等比数列，首项为 $\text{[math]}$ ，公比为 $\text{[math]}$ ．
因为 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）^n-1，所以 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）^n+T-1．
数列{b_n}为周期数列的充要条件是（ $\text{[math]}$ ）^n-1=（ $\text{[math]}$ ）^n+T-1，即（ $\text{[math]}$ ）^T=1．
故| $\text{[math]}$ |=1，但x₁≠x₂，从而cx₂+d=-cx₁-d．x₁+x₂=- $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ ，
故d=-a．
分析：（1）直接解方程 $\text{[math]}$ =x，求出对应的自变量的值即可；
（2）直接把上面的结论代入并设 $\text{[math]}$ ，求出c_n+1的表达式即可证明求证 $\text{[math]}$ 是等比数列；进而求出{a_n} 的通项公式，即可求 $\text{[math]}$ ；
（3）先利用h（x）= $\text{[math]}$ =x，得方程有两个不相等的实数根x₁，x₂；再求出{ $\text{[math]}$ }是等比数列，首项为 $\text{[math]}$ ，公比为 $\text{[math]}$ ；即可找到由函数h（x）导出的数列{b_n}（其中b₁=p）为周期数列的充要条件．
点评：本题主要考查数列知识和函数知识，属于难题．基础较弱的学生建议只做第一，第二问．