Question

在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知cos2A+6sin²

B+C

2

=4．
（Ⅰ） 求角A的度数；
（Ⅱ） 若a=

3

，b+c=3，求△ABC的面积S．

Answer 1

考点：二倍角的余弦,三角函数的化简求值

专题：解三角形

分析：（1）利用倍角公式、诱导公式、余弦函数的单调性即可得出；
（2）利用余弦定理、三角形的面积计算公式即可得出．

解答： 解：（1）∵2sin2

B+C

2

=2cos2

A

2

=1+cosA．
∴4=cos2A+6sin²

B+C

2

=2cos²A-1+3（1+cosA），
化为2cos²A+3cosA-2=0，
又|cosA|≤1，
解得cosA=

1

2

，
解得A∈（0，π）．
∴A=

π

3

．
（II）由余弦定理可得：a²=b²+c²-2bccosA，
∴(

3

)2=(b+c)2-2bc-2bccos

π

3

，
∴3=3²-2bc-bc，化为bc=2．
∴S=

1

2

bcsinA=

1

2

×2×sin

π

3

=

3

2

．

点评：本题考查了倍角公式、诱导公式、余弦函数的单调性、余弦定理、三角形的面积计算公式，考查了计算能力与推理能力，属于中档题．