Question

【题目】已知函数f（x）=x2+2xsinθ﹣1，x∈[﹣ ， ]．
（1）当 时，求函数f（x）的最小值；
（2）若函数f（x）在x∈[﹣ ， ]上是单调增函数，且θ∈[0，2π]，求θ的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：当θ= 时，f（x）=x2+x﹣1=（x+ ）2﹣ ，

由于x∈[﹣ ， ]，故当x=﹣ 时，f（x）有最小值﹣ ；

当x= 时，f（x）有最大值﹣ ．

（2）解：因为f（x）=x2+2xsinθ﹣1的对称轴为x=﹣sinθ，

又欲使f（x）在区间[﹣ ， ]上是单调函数，

则﹣sinθ≤﹣ ，或﹣sinθ≥ ，即sinθ≥ 或sinθ≤﹣

因为θ∈[0，2π]，

故所求θ的范围是[ ， ]∪[ ， ]．

【解析】（1）当θ= 时，f（x）=x2+x﹣1=（x+ ）2+ ，利用二次函数的性质求得f（x）的最大值和最小值．（2）利用f（x）=x2+2xsinθ﹣1的对称轴为x=﹣sinθ，由题意可得﹣sinθ≤﹣ ，或﹣sinθ≥ ，求得sinθ的范围，再结合θ的范围，确定出θ的具体范围．
【考点精析】关于本题考查的利用导数研究函数的单调性，需要了解一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减才能得出正确答案．