Question

【题目】已知椭圆W： ，过原点O作直线l1交椭圆W于A，B两点，P为椭圆上异于A，B的动点，连接PA，PB，设直线PA，PB的斜率分别为k1 ， k2（k1 ， k2≠0），过O作直线PA，PB的平行线l2 ， l3 ， 分别交椭圆W于C，D和E，F．
（1）若A，B分别为椭圆W的左、右顶点，是否存在点P，使∠APB=90°？说明理由．
（2）求k1k2的值；
（3）求|CD|2+|EF|2的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：不存在点P，使∠APB=90°．

说明如下：设P（xP，yP）．

依题意，此时A（﹣2，0），B（2，0），

则 ， ．

若∠APB=90°，则需使 ，即 ．

又点P在椭圆W上，所以 ，

把 代入（1）式中解得，xP=±2，且yP=0．

显然与P为椭圆上异于A，B的点矛盾，所以不存在；

（2）解：设P（xP，yP），A（xA，yA），依题意直线l1过原点，则B（﹣xA，﹣yA）．

由于P为椭圆上异于A，B的点，

则直线PA的斜率 ，直线PB的斜率 ．

即 ．

椭圆W的方程化为x2+4y2=4，由于点P和点A都为椭圆W上的点，

则 ，两式相减得 ，

因为点P和点A不重合，所以 ，

即 ；

（3）解：

方法一：由于l2，l3分别平行于直线PA，PB，

则直线l2的斜率kCD=k1，直线l3的斜率kEF=k2．

设直线l2的方程为y=k1x，代入到椭圆方程中，

得 ，解得 ．

设C（xC，yC），由直线l2过原点，则D（﹣xC，﹣yC）．

则 = ．

由于yC=k1xC，所以|CD|2= ，即|CD|2= ．

直线l3的方程为y=k2x，代入到椭圆方程中，

得 ，解得 ．

同理可得 ．

则|CD|2+|EF|2= ．

由（Ⅱ）问 ，且k1≠0，则 ．

即|CD|2+|EF|2=16

化简得|CD|2+|EF|2=16 ．

即|CD|2+|EF|2=20．

方法二：设C（xC，yC），E（xE，yE），

由直线l2，l3都过原点，则D（﹣xC，﹣yC），F（﹣xE，﹣yE）．

由于l2，l3分别平行于直线PA，PB，

则直线l2的斜率kCD=k1，直线l3的斜率kEF=k2，

由（2）得 ，可得 ．

由于kCD=k1≠0，则 ．

由于点C不可能在x轴上，即yC≠0，所以 ，

过原点的直线l3的方程为 x，代入椭圆W的方程中，

得 ，化简得 ．

由于点C（xC，yC）在椭圆W上，所以 ，

所以 ，不妨设xE=2yC，代入到直线 中，

得 ．即 ，则 ．

|CD|2+|EF|2=

=

= ．

又 ，所以|CD|2+|EF|2=20．

【解析】（1）不存在点P，使∠APB=90°．理由如下：设P（xP ， yP），运用向量垂直的条件和数量积的坐标表示，结合椭圆方程，即可判断；（2）设P（xP ， yP），A（xA ， yA），运用直线的斜率公式和点差法，化简整理可得所求值；（3）方法一：由于l2 ， l3分别平行于直线PA，PB，求得直线方程，联立椭圆方程，求得弦长，化简整理，即可得到所求值；
方法二、设C（xC ， yC），E（xE ， yE），由直线l2 ， l3都过原点，则D（﹣xC ， ﹣yC），F（﹣xE ， ﹣yE）．由于l2 ， l3分别平行于直线PA，PB，由平行的条件，求得直线方程，代入椭圆方程，化简整理，即可得到所求值．