Question

如图，棱锥P—ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，BD=.
（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）求二面角P—CD—B的大小；
（Ⅲ）求点C到平面PBD的距离.

Answer 1

证：（Ⅰ）在Rt△BAD中，AD=2，BD=，
∴AB=2，ABCD为正方形，因此BD⊥AC.                    …………2分
∵PA⊥平面ABCD，BDÌ平面ABCD，∴BD⊥PA .                      
又∵PA∩AC=A∴BD⊥平面PAC.                 …………4分
解：（Ⅱ）由PA⊥面ABCD，知AD为PD在平面ABCD的射影，又CD⊥AD，
∴CD⊥PD，知∠PDA为二面角P—CD—B的平面角.     ……………6分                
又∵PA=AD，∴∠PDA=45⁰ .   二面角P—CD—B的大小是 ……………8分
（Ⅲ）∵PA=AB=AD=2∴PB=PD=BD= 
设C到面PBD的距离为d，由，…………10分
有，                              
即，得   ………14分

解析