Question

已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a、b∈R，对命题“若a＋b≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)”．

(1)写出其逆命题，判断其真假，并证明你的结论；

(2)写出其逆否命题，判断其真假，并证明你的结论．

Answer 1

解　(1)逆命题是：若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，

则a＋b≥0为真命题．

用反证法证明：假设a＋b＜0，则a＜－b，b＜－a.

∵f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，

则f(a)＜f(－b)，f(b)＜f(－a)，

∴f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)，这与题设相矛盾，所以逆命题为真．

(2)逆否命题：若f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)，

则a＋b＜0为真命题．

因为原命题⇔它的逆否命题，所以证明原命题为真命题即可．

∵a＋b≥0,       ∴a≥－b，b≥－a.

又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，

∴f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)，

∴f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．

所以逆否命题为真．