Question

4．若函数y=x+$\frac{a}{x}$（a＞0）在区间（0，2）上单调递减，则a∈[4，+∞）．

Answer 1

分析 若函数y=x+$\frac{a}{x}$（a＞0）在区间（0，2）上单调递减，则当x∈（0，2）时，y′≤0恒成立，进而可得a的范围．

解答 解：∵函数y=x+$\frac{a}{x}$，（a＞0），
∴y′=1-$\frac{a}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}-a}{{x}^{2}}$，（a＞0）
若函数y=x+$\frac{a}{x}$（a＞0）在区间（0，2）上单调递减，
则当x∈（0，2）时，y′≤0恒成立，
即$\frac{{x}^{2}-a}{{x}^{2}}$≤0恒成立，
即x²≤a恒成立，
∴a≥4，
即a∈[4，+∞），
故答案为：[4，+∞）

点评 本题考查的知识点是对勾函数的单调性，利用导数法分析函数的单调性，难度中档．