题目内容

已知函数f（x）=sin2x-
3
cos2x+1
（1）求f（x）的周期和单调递增区间；
（2）若关于x的方程f（x）-m=2在x∈[
π
4
，
π
2
]上有解，求实数m的取值范围．
考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法
专题：三角函数的图像与性质
分析：（1）化简可得f（x）=2sin（2x-
π
3
）+1，易得周期，由2kπ-
π
2
≤2x-
π
3
≤2kπ+
π
2
可得单调区间；（2）由x∈[
π
4
，
π
2
]可得f（x）∈[2，3]，可得（2+m）∈[2，3]，由不等式可得结论．
解答： 解：（1）化简可得f（x）=sin2x-
3
cos2x+1=2sin（2x-
π
3
）+1，
∴f（x）的周期T=
2π
2
=π，
由2kπ-
π
2
≤2x-
π
3
≤2kπ+
π
2
可得kπ-
π
12
≤x≤kπ+
5π
12
，
∴函数y=f（x）的单调递增区间为：[kπ-
π
12
，kπ+
5π
12
]（k∈Z）；
（2）∵x∈[
π
4
，
π
2
]，∴2x-
π
3
∈[
π
6
，
2π
3
]，
∴sin（2x+
π
6
）∈[
1
2
，1]，∴f（x）∈[2，3]
∵关于x的方程f（x）-m=2在x∈[
π
4
，
π
2
]上有解，
∴（2+m）∈[2，3]，∴m∈[0，1]
∴实数m的取值范围为：[0，1]
点评：本题考查三角函数的恒等变换，涉及三角函数的周期性和值域，属基础题．
练习册系列答案
相关题目
若sin（α+β）cosβ-cos（α+β）sinβ=0，则sin（α+2β）+sin（α-2β）=
 
．
直线y=2x为双曲线C：
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线，则双曲线C的离心率是（　　）
A、
3
B、
3
2
C、
5
D、
5
2
已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）为偶函数，其图象上相邻的两个对称轴之间的距离为π．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若sinα-f（α）=
2
3
，求
2
sin(2α-
π
4
)+1
1+tanα
的值．
以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数φ（x）组成的集合：对于函数φ（x），存在一个正数M，使得函数φ（x）的值域包含于区间[-M，M]．例如，当φ1（x）=x3，φ2（x）=sinx时，φ1（x）∈A，φ2（x）∈B．现有如下命题：
①设函数f（x）的定义域为D，则“f（x）∈A”?“?b∈R，?x∈R，f（a）=b”；
②若函数f（x）∈B，则f（x）有最大值和最小值；
③若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，则f（x）+g（x）∉B；
④若函数f（x）=
ax
x2+1
（a∈R），则f（x）∈B．
其中的真命题有
 
．（写出所有真命题的序号）．
已知数列{an}的通项公式为an=
6n-5(n为奇数)
4n(n为偶数)
，求数列{an}的前n项和．
设函数f（x）=|2x+1|-|x-2|．
（1）解不等式f（x）＞0；
（2）已知关于x的不等式a+3＜f（x）恒成立，求实数a的取值范围．
已知点A（a，b）（其中a≠b）在矩阵M=
cosα-sinα
sinαcosα
对应的变换作用下得到点A（-b，a）．
（Ⅰ）求矩阵M的逆矩阵M-1；
（Ⅱ）求曲线C：（x-1）2+y2=1在矩阵M-1所对应的变换作用下得到的曲线C′的方程．
设等差数列{an}，已知a5=-3，S10=-40
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{abn}为等比数列，且b1=5，b2=8，求数列{bn}的前n项和Tn．

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