Question

5．已知$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{AC}$的夹角为150°，|$\overrightarrow{AB}$|=$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{AC}$|=$\sqrt{3}$，$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AC}$，且$\overrightarrow{AP}$⊥$\overrightarrow{BC}$，则$\frac{λ}{μ}$的值为$\frac{5}{9}$．

Answer 1

分析 先根据向量的数量积公式求出$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$，再根据向量$\overrightarrow{AP}$⊥$\overrightarrow{BC}$，得到（λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AC}$）•（$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$）=0，代值化简整理即可得到答案．

解答 解：∵|$\overrightarrow{AB}$|=$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{AC}$|=$\sqrt{3}$，
∴|$\overrightarrow{AC}$|=1，
∵$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{AC}$的夹角为150°，
∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{AC}$|•cos150°=$\sqrt{3}$×1×（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）=-$\frac{3}{2}$
$\overrightarrow{AP}$⊥$\overrightarrow{BC}$，
∴$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{BC}$=（λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AC}$）•（$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$）
=（λ-μ）$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$-λ${\overrightarrow{AB}}^{2}$+μ${\overrightarrow{AC}}^{2}$=-$\frac{3}{2}$（λ-μ）-3λ+μ=-$\frac{9}{2}$λ+$\frac{5}{2}$μ=0，
∴$\frac{λ}{μ}$=$\frac{5}{9}$，
故答案为：$\frac{5}{9}$

点评 本题考查两数比值的求法，解题时要认真审题，注意向量垂直的性质的合理运用．