Question

【题目】已知函数.

（1）求的单调区间；

（2）若不等式在时恒成立，求实数的取值范围；

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】

（1）求得函数的定义域与导数，分析导数的符号变化，由此可得出函数的单调递增区间和递减区间；

（2）令，由题意可得对任意的恒成立，对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数的单调性，结合可得出实数的取值范围.

（1）函数的定义域为，.

当时，对任意的恒成立，

此时，函数的单调递增区间为；

当时，令，可得.

当时，；当时，.

此时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.

综上所述，当时，函数的单调递增区间为；

当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；

（2）设，则，

，，

则函数在区间上单调递增，当时，，

所以，函数在区间上单调递增，则.

①当时，即当时，对任意的恒成立，

所以，函数在区间上单调递增，当时，，合乎题意；

②当时，即当时，由于函数在区间上单调递增，

且，

由零点存在定理可知，存在，使得，

当时，；当时，.

此时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为，

所以，，不合乎题意.

综上所述，实数的取值范围是.