Question

6．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_n=$\frac{1}{1+2+3+…+n}$，则S₂₀₁₃=$\frac{2013}{1007}$．

Answer 1

分析 通过1+2+…+n=$\frac{n（n+1）}{2}$、裂项可知a_n=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），并项相加即得结论．

解答 解：∵1+2+…+n=$\frac{n（n+1）}{2}$，
∴a_n=$\frac{1}{1+2+3+…+n}$
=$\frac{2}{n（n+1）}$
=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
∴S₂₀₁₃=2（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…$\frac{1}{2013}$-$\frac{1}{2014}$）
=2（1-$\frac{1}{2014}$）
=$\frac{2013}{1007}$，
故答案为：$\frac{2013}{1007}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，利用裂项相消法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．