Question

设{a_n}是公比大于1的等比数列，s_n为数列{a_n}的前n项和．已知s₃=7，且a₁+3，3a₂，a₃+4构成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令bn=

1

n- 7 2

log2an，求数列{b_n}的最大项．

Answer 1

分析：（1）由a₁+3、3a₂、a₃+4构成等差数列，得到（a₁+3）+（a₃+4）=2（3a₂），又S₃=7，得到前三项之和等于7，两者联立即可求出第2项的值，然后设出等比数列的公比为q，利用等比数列的性质利用第2项表示出首项和第3项，代入S₃=7中列出关于q的方程，求出方程的解即可得到q的值，根据q大于1，得到满足题意q的值，然后根据q的值求出等比数列的首项，利用首项和q写出数列{a_n}的通项公式即可；
（2）将（1）中通项代入，利用函数的单调性，即可求得数列{b_n}的最大项．

解答：解：（1）由题意得

a1+a2+a3=7 (a1+3)+(a3+4)=6a2

，解得a₂=2，
设数列{a_n}的公比为q，由a₂=2，可得a₁=

2

q

，a₃=2q，
又S₃=7，可知2q²-5q+2=0，解得q₁=2，q₂=

1

2

，
由题意得q＞1，∴q=2．∴a₁=1，故数列{a_n}的通项为a_n=2^n-1
（2）bn=

1

n- 7 2

log2an= 

n-1

n- 7 2

=1+

5 2

n- 7 2

∵函数y=

5 2

n- 7 2

（n∈N₊）在[1，3]上为减函数，在[4，+∞）上为单调减函数，且n=1时，b₁=0，n=4时，b₄=6
∴n=4时，函数有最大值，此时最大值为b₄=6
∴数列{b_n}的最大项为b₄=6

点评：本题考查数列的通项，考查等差数列与等比数列的综合，考查函数与数列的关系，基本量法是解题的关键．