Question

5．已知函数f（x）=asinx+cosx（a为常数，x∈R）的图象关于直线$x=\frac{π}{6}$对称，则函数g（x）=sinx+acosx的图象（　　）

• A． 关于点$（{\frac{π}{3}，0}）$对称
• B． 关于点$（{\frac{2π}{3}，0}）$对称
• C． 关于直线$x=\frac{π}{3}$对称
• D． 关于直线$x=\frac{π}{6}$对称

Answer 1

分析 利用三角函数的对称性求得a的值，可得g（x）的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性，得出结论．

解答 解：∵函数f（x）=asinx+cosx（a为常数，x∈R）的图象关于直线$x=\frac{π}{6}$对称，
∴f（0）=f（$\frac{π}{3}$），即1=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a+$\frac{1}{2}$，∴a=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴f（x）=asinx+cosx=$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinx+cosx=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sin（x+$\frac{π}{3}$），
故函数g（x）=sinx+acosx=sinx+$\frac{\sqrt{3}}{3}$cosx=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sin（x+$\frac{π}{6}$），
当x=$\frac{π}{3}$时，g（x）=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$为最大值，故A错误，故g（x）的图象关于直线$x=\frac{π}{3}$对称，即C正确．
当x=$\frac{2π}{3}$时，g（x）=$\frac{\sqrt{3}}{3}$≠0，故B错误．
当x=$\frac{π}{6}$时，g（x）=1，不是最值，故g（x）的图象不关于直线x=$\frac{π}{6}$对称，排除D．
故选：C．

点评 本题考查三角恒等变形以及正弦类函数的对称性质，是三角函数中综合性比较强的题目，比较全面地考查了三角函数的图象与性质，属于中档题．