Question

【题目】已知函数．

（1）求函数的单调区间；

（2）若方程有两个不相等的实数根，，求证：．

Answer 1

【答案】（1）当时，单调增区间为，无减区间

当时，单调增区间为，单调减区间为

（2）见详解

【解析】

（1） 对函数求导，，讨论与时导函数的正负，来确定函数单调区间。

（2） 将代入方程，两式相减得，构造

证明在定义域内恒成立即可。

（1）

当时，，函数在区间内单调递增，所以函数的单调递增区间为，无单调递减区间；

当，由，得，由，得，

所以函数的单调递增区间为，单调减区间为。

（2）因为 是方程的两个不相等的实数根，故由（1）得，

不妨设，则和

两式相减可得，

因为，所以，即，

要证，只需证，

因为，所以，

故只需证明

即证明 ，设 ，即证明

令 ，则，

因为，所以，所以在为增函数，

所以，即。