Question

18．在直角坐标系xOy中，直线l：y=t（t≠0）交y轴于点M，交抛物线C：y²=2px（p＞0）于点P，M关于点P的对称点为N，连结ON并延长交C于点H．
（Ⅰ）求$\frac{{|{OH}|}}{{|{ON}|}}$；
（Ⅱ）除H以外，直线MH与C是否有其它公共点？说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出P，N，H的坐标，利用$\frac{{|{OH}|}}{{|{ON}|}}$=$\frac{|{y}_{H}|}{|{y}_{N}|}$，求$\frac{{|{OH}|}}{{|{ON}|}}$；
（Ⅱ）直线MH的方程为y=$\frac{p}{2t}$x+t，与抛物线方程联立，消去x可得y²-4ty+4t²=0，利用判别式可得结论．

解答 解：（Ⅰ）将直线l与抛物线方程联立，解得P（$\frac{{t}^{2}}{2p}$，t），
∵M关于点P的对称点为N，
∴$\frac{{x}_{N}+{x}_{M}}{2}$=$\frac{{t}^{2}}{2p}$，$\frac{{y}_{N}+{y}_{M}}{2}$=t，
∴N（$\frac{{t}^{2}}{p}$，t），
∴ON的方程为y=$\frac{p}{t}$x，
与抛物线方程联立，解得H（$\frac{2{t}^{2}}{p}$，2t）
∴$\frac{{|{OH}|}}{{|{ON}|}}$=$\frac{|{y}_{H}|}{|{y}_{N}|}$=2；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知k_MH=$\frac{p}{2t}$，
∴直线MH的方程为y=$\frac{p}{2t}$x+t，与抛物线方程联立，消去x可得y²-4ty+4t²=0，
∴△=16t²-4×4t²=0，
∴直线MH与C除点H外没有其它公共点．

点评 本题考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，正确联立方程是关键．