Question

7．正项数列{a_n}的前n项和为S_n，满足a_n=2$\sqrt{{S}_{n}}$-1．若对任意的正整数p、q（p≠q），不等式S_P+S_q＞kS_p+q恒成立，则实数k的取值范围为$（-∞，\frac{1}{2}]$．

Answer 1

分析 a_n=2$\sqrt{{S}_{n}}$-1，可得S_n=$\frac{（{a}_{n}+1）^{2}}{4}$，n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，利用已知可得：a_n-a_n-1=2．利用等差数列的求和公式可得S_n，再利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：∵a_n=2$\sqrt{{S}_{n}}$-1，∴S_n=$\frac{（{a}_{n}+1）^{2}}{4}$，
∴n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{（{a}_{n}+1）^{2}}{4}$-$\frac{（{a}_{n-1}+1）^{2}}{4}$，
化为：（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，
∵?n∈N^*，a_n＞0，
∴a_n-a_n-1=2．
n=1时，a₁=S₁=$\frac{（{a}_{1}+1）^{2}}{4}$，解得a₁=1．
∴数列{a_n}是等差数列，首项为1，公差为2．
∴S_n=n+$\frac{n（n-1）}{2}×2$=n²．
∴不等式S_P+S_q＞kS_p+q化为：k＜$\frac{{p}^{2}+{q}^{2}}{（p+q）^{2}}$，
∵$\frac{{p}^{2}+{q}^{2}}{（p+q）^{2}}$＞$\frac{1}{2}$，对任意的正整数p、q（p≠q），不等式S_P+S_q＞kS_p+q恒成立，
∴$k≤\frac{1}{2}$．
则实数k的取值范围为 $（-∞，\frac{1}{2}]$．
故答案为：$（-∞，\frac{1}{2}]$．

点评 本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式与求和公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．