Question

（2012•西城区一模）在△ABC中，已知2sinBcosA=sin（A+C）．
（Ⅰ）求角A；
（Ⅱ）若BC=2，△ABC的面积是

3

，求AB．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由三角形的内角和定理及诱导公式得到sin（A+C）=sinB，代入已知的等式，根据sinB不为0，可得出cosA的值，再由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；
（Ⅱ）由A的度数求出cosA的值，再由三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，将已知的面积及sinA的值代入求出AB•AC的值，记作①，利用余弦定理得到BC²=AB²+AC²-2AB•AC•cosA，求出将cosA，BC及AB•AC的值代入，整理后求出AB²+AC²的值，再根据AB•AC的值，利用完全平方公式变形，开方求出AB+AC的值，记作②，联立①②即可求出AB的长．

解答：（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）∵A+B+C=π，
∴sin（A+C）=sin（π-B）=sinB，…（3分）
∴2sinBcosA=sin（A+C）化为：2sinBcosA=sinB，…（4分）
∵B∈（0，π），∴sinB＞0，
∴cosA=

1

2

，…（6分）
∵A∈（0，π），
∴A=

π

3

；…（7分）
（Ⅱ）∵A=

π

3

，∴cosA=

1

2

，
又BC=2，S_△ABC=

1

2

AB•AC•sin

π

3

=

3

，即AB•AC=4①，
∴由余弦定理得：BC²=AB²+AC²-2AB•AC•cosA=AB²+AC²-AB•AC，…（9分）
∴AB²+AC²=BC²+AB•AC=4+4=8，…（11分）
∴（AB+AC）²=AB²+AC²+2AB•AC=8+8=16，即AB+AC=4②，
联立①②解得：AB=AC=2，
则AB=2．…（13分）

点评：此题考查了余弦定理，诱导公式，三角形的面积公式，完全平方公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．