题目内容
（2012•西城区一模）已知集合A={x|x=a0+a1×3+a2×32+a3×33}，其中ak∈{0，1，2}（k=0，1，2，3），且a3≠0．则A中所有元素之和等于（ ）
分析：由题意可知a0，a1，a2各有3种取法（均可取0，1，2），a3有2种取法，利用数列求和即可求得A中所有元素之和．
解答：解：由题意可知，a0，a1，a2各有3种取法（均可取0，1，2），a3有2种取法，
由分步计数原理可得共有3×3×3×2种方法，
∴当a0取0，1，2时，a1，a2各有3种取法，a3有2种取法，共有3×3×2=18种方法，
即集合A中含有a0项的所有数的和为（0+1+2）×18；
同理可得集合A中含有a1项的所有数的和为（3×0+3×1+3×2）×18；
集合A中含有a2项的所有数的和为（32×0+32×1+32×2）×18；
集合A中含有a3项的所有数的和为（33×1+33×2）×27；
由分类计数原理得集合A中所有元素之和：
S=（0+1+2）×18+（3×0+3×1+3×2）×18+（32×0+32×1+32×2）×18+（33×1+33×2）×27
=18（3+9+27）+81×27
=702+2187
=2889．
故选D．
由分步计数原理可得共有3×3×3×2种方法，
∴当a0取0，1，2时，a1，a2各有3种取法，a3有2种取法，共有3×3×2=18种方法，
即集合A中含有a0项的所有数的和为（0+1+2）×18；
同理可得集合A中含有a1项的所有数的和为（3×0+3×1+3×2）×18；
集合A中含有a2项的所有数的和为（32×0+32×1+32×2）×18；
集合A中含有a3项的所有数的和为（33×1+33×2）×27；
由分类计数原理得集合A中所有元素之和：
S=（0+1+2）×18+（3×0+3×1+3×2）×18+（32×0+32×1+32×2）×18+（33×1+33×2）×27
=18（3+9+27）+81×27
=702+2187
=2889．
故选D．
点评：本题考查数列的求和，考查分类计数原理与分步计数原理的应用，考查分类讨论与转化思想的综合应用，属于难题．
练习册系列答案
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