Question

【题目】设数列的前项和为，且对任意正整数，满足.

（1）求数列的通项公式；

（2）若，数列的前项和为，是否存在正整数，使? 若存在，求出符合条件的所有的值构成的集合；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】(1) ；(2) .

【解析】试题分析：（1）由和项与通项关系可得项之间递推关系，再根据等比数列定义可得数列的通项公式；（2）由错位相减法可得，再化简不等式得，根据指数函数与一次函数图像可得的值

试题解析：（1），

时， ，

所以，

所以是以首项，公比的等比数列，

所以数列的通项公式为.

（2）由（1）知， ，

记数列的前项和为，则

，①

，②

②-①得，

，

所以，数列的前项和为.

要使，即，

所以.

当时， ，当时， ，当时， ，结合函数与的图象可知，当时都有，

所以 .