Question

【题目】如图在直三棱柱中， ， 为中点．

（Ⅰ）求证： 平面．

（Ⅱ）若，且，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）

【解析】试题分析：

（I）连结，由题意可证得，从而得为中点，所以，又由题意得得，所以得。（也可通过面面垂直证线面垂直）（II）由题意可得两两垂直，建立空间直角坐标系，求得平面和平面的法向量分别为， ，由法向量夹角的余弦值可得二面角的余弦值。

试题解析：

（I）证明：连结，

∵ 平面平面， 平面，

∴ ，

∵为中点，

∴为中点，

∵，

∴①，

法一：由平面， 平面，

得，②，

由①②及，

所以平面．

法二：由平面， 平面，

∴ 平面平面，

又平面平面,

所以平面．

（II）解：由，得，

由（I）知，又，得，

∵，

∴，

∴两两垂直，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则， ， ，

得， ，

设是平面的一个法向量，

由，得,

令，得，

设为平面的一个法向量，

由，得.

令，得，

∴

根据题意知二面角为锐二面角，

所以二面角的余弦值为．