Question

已知向量=（λsinα，λcosα），=（cosβ，sinβ），且，其中O为原点．
（Ⅰ）若λ＜0，求向量与的夹角；
（Ⅱ）若λ∈[-2，2]，求||的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由题意可得，，，代入夹角公式计算可得；
（Ⅱ）||=||，代入已知计算可得关于λ的函数式，由二次函数的知识可得相应的最值，可得范围．
解答：解：（Ⅰ）由题意可得==-λ，
==1，=λsinαcosβ+λcosαsinβ
=λsin（α+β）=λsin=，设向量与的夹角为θ，
则cosθ==-，又因为θ∈[0，π]，
所以向量与的夹角θ为；
（Ⅱ）||=||=
==
==，由于λ∈[-2，2]，
由二次函数的知识可知：当时，上式有最小值，
当λ=-2时，上式有最大值，
故||的取值范围是[，]
点评：本题考查数量积表示两个向量的夹角，涉及三角函数的运算，属中档题．