Question

已知各项均不为零的数列．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）求证：对任意．

Answer 1

【答案】分析：（I）由2S_n=a_na_n+1，2S_n+1=a_n+1a_n+3，知2a_n+1=a_n+1（a_n+2-a_n），a_n+2-a_n=2，由此能求出a_n=n（n∈N⁺）．
（II）令，=．由（2n-1）•2n=（2n）²-2n=，知，由此能够证明对任意．
解答：解：（I）由题设知2S_n=a_na_n+1，2S_n+1=a_n+1a_n+3，
∴2a_n+1=a_n+1（a_n+2-a_n），
∵a_n≠0，∴a_n+2-a_n=2，
∵a₁=1，a₂=2，
∴a_n=n（n∈N⁺）．
（II）令，

=．
∵（2n-1）•2n=（2n）²-2n=，
∴，
，，，
n≥4时，T_n=T₃+b₄+b₅+…+b_n

=，
∴对任意．
点评：第（I）题考查数列通项公式的求法，解题时要注意迭代法的合理运用；第（II）题考查数列与一不等式的综合运用，解题时要注意裂项求和法和放缩法的合理运用．