Question

（2013•绵阳二模）已知各项均不为零的数列{a_n}的首项a₁=

3

4

，2a_n+1a_n=ka_n-a_n+1n∈N₊，k是不等于1的正常数）．
（I ）试问数列{

1

an

-

2

k-1

}是否成等比数列，请说明理由；
（II）当k=3时，比较a_n与

3n+4

3n+5

的大小，请写出推理过程．

Answer 1

分析：（I ）通过已知条件2a_n+1a_n=ka_n-a_n+1，推出

1

an+1

，然后推出

1

an+1

-

2

k-1

与

1

an

-

2

k-1

的关系，即可判断数列{

1

an

-

2

k-1

}成等比数列；
（II）当k=3时，求出a_n，然后求出a_n-

3n+4

3n+5

的差值，构造函数利用函数的单调性说明两者的大小关系．

解答：解：（Ⅰ）由 2a_n+1a_n=ka_n-a_n+1，可得

1

an+1

=

1

k

(2+

1

an

)，
∴

1

an+1

-

2

k-1

=

1

k

(2+

1

an

)-

2

k-1

=

1

k

(

1

an

-

2

k-1

)，首项为

1

a1

-

2

k-1

=

4

3

-

2

k-1

．
若

4

3

-

2

k-1

=0，即k=

5

2

时，数列{

1

an

-

2

k-1

}为零数列，不成等比数列．
若

4

3

-

2

k-1

≠0，即k＞0，k≠1且k≠

5

2

时，
数列{

1

an

-

2

k-1

}是以

4

3

-

2

k-1

为首项，

1

k

为公比的等比数列．
∴综上所述，当k=

5

2

时，数列{

1

an

-

2

k-1

}不成等比数列；当k＞0，k≠1且k≠

5

2

时，数列{

1

an

-

2

k-1

}是等比数列．…（6分）
（Ⅱ）当k=3时，数列{

1

an

-1}是以

1

3

为首项，

1

3

为公比的等比数列．
∴

1

an

-1=(

1

3

)n，即a_n=

3n

3n+1

=1-

1

3n+1

，
∴a_n-

3n+4

3n+5

=1-

1

3n+1

-（1-

1

3n+5

）=

1

3n+5

-

1

3n+1

=

3n-3n-4

(3n+5)(3n+1)

，
令F（x）=3^x-3x-4（x≥1），则F′（x）=3^xln3-3≥F′（1）＞0，
∴F（x）在[1，+∞）上是增函数．
而F（1）=-4＜0，F（2）=-1＜0，F（3）=14＞0，
∴①当n=1和n=2时，a_n＜

3n+4

3n+5

；
②当n≥3时，3ⁿ+1＞3n+5，即

1

3n+5

＞

1

3n+1

，此时a_n＞

3n+4

3n+5

．
∴综上所述，当n=1和n=2时，a_n＜

3n+4

3n+5

；当n≥3时，a_n＞

3n+4

3n+5

．…（12分）

点评：本题考查数列的递推关系式的应用，构造法与函数的导数判断函数值的大小，以及作差法的应用，考查分析问题解决问题的能力．