Question

【题目】已知函数.

（1）若恒成立，.求的最大值；

（2）若函数有且只有一个零点，且满足条件的，使不等式恒成立，求实数的值.

Answer 1

【答案】（1）1（2）实数的值为1

【解析】

（1）对参数进行分类讨论，构造函数，即可利用导数求得其最大值，则问题得解；

（2）由有且只有一个零点，可得之间的关系，构造函数，根据其单调性，即可容易求得结果.

（1），

当时，，函数在上单调递增，

，不合题意.

当时，由，解得，由，解得，

所以函数在上单调递增，在上单调递减，

所以，

所以，此时，

令，则，

当，函数单调递增，

当时，，函数单调递减，

所以，所以的最大值为1.

（2），易知函数在上单调递减，

因为函数有且只有一个零点，设该零点为，所以，，

即，解得，

由恒成立，得，

整理得在上恒成立.

令，

则.

若，，在上单调递增，

又因为，所以当时，，不合题意.

若，当时，，当时，，

所以函数在上单调递减，在上单调递增.

①时，函数在上单调递增，，不合题意；

②当时，函数在上单调递减，，不合题意；

③当时，，符合题意.

综上所述，实数的值为1.