题目内容

【题目】如图,OH分别为锐角△ABC的外心垂心,ADBCDGAH的中点点K在线段GH上,且满足GK=HD,连结KO并延长交AB于点E.

1) 证明:

2) 证明:.

【答案】1)证明见解析.(2)证明见解析

【解析】

1)如图,连结BO并延长交圆O于点F,由O为△ABC的外心,知BF为圆O的直径,所以.

结合H为△ABC的垂心,得HCAB,所以AFHC.同理,FCAH.

所以四边形AHCF为平行四边形,.

OMBCBC于点M,则OM=FC.

因此,由GAH的中点,GK=HD

可得.

结合KDOM,得四边形OMDK为平行四边形.

所以OKMD,即EKBC.

2)如图,作GNABN.

H为△ABC的垂心,知

结合HDBC,得△ANG∽△CDH.所以,∠NGA=DHC.

GK=HDAG=GH,因此,.

又∠NGK=180°-NGA=180°-DHC=GC,所以△NGK∽△GHC,故∠KNG=CGH.

由(1)知,GKKE.因此,EKGN四点共圆.所以

.

所以GEGC.

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