Question

设是首项为a，公差为d的等差数列，是其前n项的和。记，其中c为实数。
（1）若，且成等比数列，证明：；
（2）若是等差数列，证明：。

Answer 1

（1）见解析（2）见解析

试题分析：
(1)根据题意时，可得，即得到通项，则可根据成等比数列，得到关系，从而将化为关于的式子.进而证明结论.
(2) 根据是等差数列,可设出,则有,将代入,化简该式为样式,通过令,建立方程组,可解得.则可讨论出.
试题解析：
由题意可知.①
（1）由，得.
又因为成等比数列，所以，
即，化简得.
因为，所以.因此对于所有的，①有.
从而对于所有的，有。
（2）设数列的公差为，则，
即，代入的表达式，整理得，对于所有的，
有.
令，
则对于所有的，有.（*）
在（*）式中分别取，得
，
从而有①，②， ③，
由②③得，代入方程①，得，从而.
即，。
若，则由，得，与题设矛盾，所以。
又因为，所以。项和,等比中项;化繁为简的思想,等价代换的思想.