Question

2．当x＞$\frac{1}{2}$时，求函数y=x+$\frac{8}{2x-1}$的最小值，并求出函数取得最小值时实数x的值．

Answer 1

分析 由条件可得，x-$\frac{1}{2}$＞0，函数y=x+$\frac{8}{2x-1}$=（x-$\frac{1}{2}$）+$\frac{4}{x-\frac{1}{2}}$+$\frac{1}{2}$，运用基本不等式即可得到最小值和对应的x的值．

解答 解：当x＞$\frac{1}{2}$时，x-$\frac{1}{2}$＞0，
函数y=x+$\frac{8}{2x-1}$
=（x-$\frac{1}{2}$）+$\frac{4}{x-\frac{1}{2}}$+$\frac{1}{2}$
≥2$\sqrt{（x-\frac{1}{2}）•\frac{4}{x-\frac{1}{2}}}$+$\frac{1}{2}$=$\frac{9}{2}$．
当且仅当x=$\frac{5}{2}$时，函数取得最小值$\frac{9}{2}$．

点评 本题考查基本不等式的运用：求最值，注意满足的条件：一正二定三等，考查变形和运算求解的能力，属于中档题．