Question

7．对于任意实数a，b，定义：F（a，b）=$\frac{1}{2}$（a+b+|a-b|），若函数f（x）=x²，g（x）=x+2，则函数G（x）=F（f（x），g（x））的最小值为1．

Answer 1

分析 运用新定义，分别讨论当x²-x-2≥0，当x²-x-2＜0，G（x）的范围，求并集，即可得到最小值．

解答 解：由新定义可得，函数G（x）=F（f（x），g（x））
=$\frac{1}{2}$（x²+x+2+|x²-x-2|）
当x²-x-2≥0，即为x≥2或x≤-1，G（x）=$\frac{1}{2}$（x²+x+2+x²-x-2）
=x²，即有G（x）∈[1，+∞）；
当x²-x-2＜0，即为-1＜x＜2，G（x）=$\frac{1}{2}$（x²+x+2-x²+x+2）
=x+2，即有G（x）∈（1，4）．
则有G（x）的值域为[1，+∞）．
当x=-1时，取得最小值1．
故答案为：1．

点评 本题考查新定义的理解和运用，考查分段函数的最值问题的求法，注意求得各段的范围，属于基础题．