Question

17．（1）已知集合A={x|$\frac{2x-1}{{x}^{2}+3x+2}$＞0}，B={x|x²+ax+b≤0}，且A∩B={x|$\frac{1}{2}$＜x≤3}，求实数a，b的取值范围．
（2）已知集合A={x|（x+2）（x+1）（2x-1）＞0}，B={x|x²+ax+b≤0}，且A∪B={x|x+2＞0}，A∩B={x|$\frac{1}{2}$＜x≤3}，求实数a，b 的值．

Answer 1

分析 （1）由集合A={x|$\frac{2x-1}{{x}^{2}+3x+2}$＞0}，B={x|x²+ax+b≤0}，且A∩B={x|$\frac{1}{2}$＜x≤3}，可得方程x²+ax+b=0的一根为3，另一根在区间[-1，$\frac{1}{2}$]上，进而得到实数a，b的取值范围．
（2）由集合A={x|（x+2）（x+1）（2x-1）＞0}，B={x|x²+ax+b≤0}，且A∪B={x|x+2＞0}，A∩B={x|$\frac{1}{2}$＜x≤3}，可得方程x²+ax+b=0的两根为-1和3，结合韦达定理，可得答案．

解答 解：（1）∵集合A={x|$\frac{2x-1}{{x}^{2}+3x+2}$＞0}={x|-2＜x＜-1，或x＞$\frac{1}{2}$}，
A∩B={x|$\frac{1}{2}$＜x≤3}，
∴方程x²+ax+b=0的一根为3，另一根在区间[-1，$\frac{1}{2}$]上，
令f（x）=x²+ax+b，
则$\left\{\begin{array}{l}f（-1）≥0\\ f（\frac{1}{2}）≤0\\ f（3）=0\end{array}\right.$，
解得：a∈[-$\frac{7}{2}$，-2]，b∈[-3，$\frac{3}{2}$]
（2）∵集合A={x|（x+2）（x+1）（2x-1）＞0}={x|-2＜x＜-1，或x＞$\frac{1}{2}$}，
B={x|x²+ax+b≤0}，且A∪B={x|x+2＞0}，A∩B={x|$\frac{1}{2}$＜x≤3}，
∴-1，3是方程x²+ax+b=0的两根，
故-1+3=2=-a，-1×3=-3=b，
即a=-2，b=-3．

点评 本题考查的知识点是集合的交集，并集，补集运算，难度不大，属于中档题．