Question

3．已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，PA⊥面ABCD，∠BAD=∠ABC=90°，AD=2，BC=1，AB=$\sqrt{2}$，PA=4．点M，N分别是PA，PD中点，平面MNC交PA于Q．
（1）试确定Q点的位置；
（2）求平面MNC与平面ABCD所成锐二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，求出平面CMN的法向量，由$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CQ}$=0，能求出Q为PA的四等分点，且PQ=$\frac{PA}{4}$．
（2）分别求出平面MNC的法向量和平面ABCD的法向量，利用向量法能求出平面MNC与平面ABCD所成锐二面角的余弦值．

解答 解：（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，
设Q=t$\overrightarrow{AP}$，0≤t≤1，
由已知得P（0，0，4），Q（0，0，t），B（$\sqrt{2}$，0，0），D（0，2，0），
M（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0，2），N（0，1，2），C（$\sqrt{2}$，1，0），
$\overrightarrow{CM}$=（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-1，2），$\overrightarrow{CN}$=（-$\sqrt{2}$，0，2），$\overrightarrow{CQ}$=（-$\sqrt{2}$，-1，t），
设平面CMN的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CM}=-\frac{\sqrt{2}}{2}x-y+2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CN}=-\sqrt{2}x+2z=0}\end{array}\right.$，取x=$\sqrt{2}$，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{2}$，1，1），
∵平面MNC交PA于Q，
∴$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CQ}$=-2-1+t=0，解得t=3．
∴Q为PA的四等分点，且PQ=$\frac{PA}{4}$．
（2）由（1）得平面MNC的法向量为$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{2}$，1，1），
又平面ABCD的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
设平面MNC与平面ABCD所成锐二面角的平面角为θ，
则cosθ=|cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$|=|$\frac{1}{\sqrt{4}}$|=$\frac{1}{2}$．
∴平面MNC与平面ABCD所成锐二面角的余弦值为$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查点的位置的确定，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解时要认真审题，注意向量法的合理