Question

【题目】设为的三边，求证：方程与有公共根的充要条件是.

Answer 1

【答案】证明见解析

【解析】

证充分性，即需解出公共根；证必要性，则先设公共根，解得a2＝b2＋c2.

充分性：∵∠A＝90°，

∴a2＝b2＋c2.于是方程x2＋2ax＋b2＝0可化为x2＋2ax＋a2－c2＝0，

∴x2＋2ax＋(a＋c)(a－c)＝0.∴[x＋(a＋c)][x＋(a－c)]＝0.

∴该方程有两根x1＝－(a＋c)，x2＝－(a－c)，

同样另一方程x2＋2cx－b2＝0也可化为x2＋2cx－(a2－c2)＝0，即[x＋(c＋a)][x＋(c－a)]＝0，∴该方程有两根x3＝－(a＋c)，x4＝－(c－a).

可以发现，x1＝x3，

∴方程有公共根.

必要性：设x是方程的公共根，则

由①＋②，得x＝－(a＋c)，x＝0(舍去).代入①并整理，可得a2＝b2＋c2.∴∠A＝90°.

综上,方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°