Question

5．若△ABC的内角为A，B，C，且sinA，sinC，$\sqrt{2}$sinB为等差数列，则cosC的最小值是$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$．

Answer 1

分析 根据等差中项和正弦定理得出a，b，c的关系，利用余弦定理得出cosC，利用基本不等式求出cosC的最小值．

解答 解：∵sinA，sinC，$\sqrt{2}$sinB为等差数列，
∴sinA+$\sqrt{2}$sinB=2sinC．即a+$\sqrt{2}b$=2c．
∴c=$\frac{a+\sqrt{2}b}{2}$．
∴cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{3{a}^{2}+2{b}^{2}-2\sqrt{2}ab}{8ab}$=$\frac{3a}{8b}+\frac{b}{4a}-\frac{\sqrt{2}}{4}$≥2$\sqrt{\frac{3}{8}×\frac{1}{4}}$-$\frac{\sqrt{2}}{4}$=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$．

点评 本题考查了等差中项的性质，正余弦定理解三角形，属于中档题．