Question

11．若x³+x⁶的展开式可以写成a₀+a₁（x+1）+a₂（x+1）²+…+a₆（x+1）⁶，则a₂=45．

Answer 1

分析 法一：利用（x+1）ⁿ=xⁿ+nx^n-1+${∁}_{n}^{2}{x}^{n-2}$+…+${∁}_{n}^{n-2}{x}^{2}$+nx+1，再利用恒等式的性质即可得出．
法二：x³+x⁶=[（x+1）-1]³+[（x+1）-1]⁶，其中a₂（x+1）²只是[（x+1）-1]⁶展开式中（x+1）²的系数和[（x+1）-1]³的系数的和，即可得出．

解答 解法一：由于x³+x⁶=a₀+a₁（x+1）+a₂（x+1）²+…+a₆（x+1）⁶=a₀+a₁（x+1）+a₂（x²+2x+1）+a₃（x³+3x²+3x+1）+a₄（x⁴+4x³+6x²+4x+1）+a₅（x⁵+5x⁴+10x³+10x²+5x+1）+a₆（x⁶+6x⁵+15x⁴+20x³+15x²+6x+1）．
可知：a₆=1，
又a₄+5a₅+15a₆=0，a₅+6a₆=0，
a₃+4a₄+10a₅+20a₆=1，
a₂+3a₃+6a₄+10a₅+15a₆=0，
解得a₅=-6，a₄=15，a₃=-19，a₂=12．
解法二：x³+x⁶=[（x+1）-1]³+[（x+1）-1]⁶，
其中a₂（x+1）²只是[（x+1）-1]⁶展开式中（x+1）²的系数和[（x+1）-1]³的系数的和，
∴a₂=$（-1）^{4}{∁}_{6}^{4}$+${∁}_{3}^{2}（-1）^{1}$
=15-3
=12．
故答案为：12．

点评 本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．