Question

数列{a_n}中，a1=

1

2

，  an+1=

nan

(n+1)(nan+1)

(n∈N*)，其前n项的和为S_n．
求证：

n

i=1

(1-

Si

Si+1

)

1

Si+1

＜2(

2

-1)．

Answer 1

分析：先假设bn=

1

nan

，由此可得到bn+1=

1

(n+1)an+1

，由题设条件能推导出{b_n}是首项为2，公差为1的等差数列．所以an=

1

nbn

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，由此入手能够证明出

n

i=1

(1-

Si

Si+1

)

1

Si+1

＜2(

2

-1)．

解答：证明：假设bn=

1

nan

，∴bn+1=

1

(n+1)an+1

∵an+1=

nan

(n+1)(nan+1)

，
∴bn+1-bn=

1

(n+1)an+1

-

1

nan

=

1

(n+1) nan (n+1)(nan+1)

-

1

nan

=

nan+1

nan

-

1

nan

=1（3分）
∴{b_n}是首项为2，公差为1的等差数列．（4分）
∵b_n=2+（n-1）•1=n+1，∴an=

1

nbn

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，（6分）
∴Sn=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)++(

1

n

-

1

n+1

)=1-

1

n+1

=

n

n+1

∵

Si

Si+1

=

i(i+2)

(i+1)2

=

i2+2i

i2+2i+1

＜1∴(1-

Si

Si+1

)

1

Si+1

=(

1

Si

-

1

Si+1

)

Si

Si+1

=(

1

Si

-

1

Si+1

)(

1

Si

+

1

Si+1

)

Si

Si+1

=(

1

Si

-

1

Si+1

)(

Si

Si+1

+

Si

Si+1

)＜2(

1

Si

-

1

Si+1

)
∴

n

i=1

(1-

Si

Si+1

)

1

Si+1

＜2[(

1

S1

-

1

S2

)+(

1

S2

-

1

S3

)+(

1

Sn

-

1

Sn+1

)]=2(

1

S1

-

1

Sn+1

)=2(

2

-

n+2 n+1

)＜2(

2

-1)．（15分）

点评：本题考查数列的性质和应用，难度较大，解题时要认真审题，要注意培养计算能力．