Question

（本小题满分14分）已知数列{a_n}中，（t>0且t≠1）．若是函数的一个极值点．
（Ⅰ）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（Ⅱ）记，当t=2时，数列的前n项和为S_n，求使S_n>2008的n的最小值；
（Ⅲ）当t=2时，求证：对于任意的正整数n，有 。

Answer 1

解：分析：利用是函数的一个极值点求出与的关系式，从而加以证明第（1）问，而第（2）问的解决关键在于运用等比数列的求和公式，再利用函数的单调性得出n的最小值。第（3）问中先将拆项并求和，通过观察与分析得出指数函数g（x）的表达式。
（Ⅰ）．由题意，即
，∴，
∵且，∴数列是以为首项，t为公比的等比数列，

以上各式两边分别相加得，∴，
当时，上式也成立，∴
（Ⅱ）当t=2时，


由，得，，
当，
因此n的最小值为1005．
（Ⅲ）∵
  

略