Question

设椭圆的左焦点为F，上顶点为A，直线AF的倾斜角为45°，
（1）求椭圆的离心率；
（2）设过点A且与AF垂直的直线与椭圆右准线的交点为B，过A、B、F三点的圆M恰好与直线3x-y+3=0相切，求椭圆的方程及圆M的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）由直线AF的倾斜角为45°可知b=c，进而根据a=求得a和c的关系，进而可得答案．
（2）依题意可得直线AB的方程为y=-x+c，右准线方程为x=2c，进而可求得B点坐标，依据AF⊥AB可知过A，B，F三点的圆的圆心坐标进而可得圆的半径，根据过A，B，F三点的圆恰好与直线3x-y+3=0相切可知圆心到直线3x-y+3=0的距离等于半径，建立等式可求得b，进而求得a和c．椭圆和圆的方程可得．
解答：解：（1）∵直线AF的倾斜角为45°，
∴b=c，
∴a==c
∴e==
所以椭圆的离心率为；
（2）由（1）知，直线AB的方程为y=-x+c，右准线方程为x=2c，
可得B（2c，-c），
∵AF⊥AB，
∴过A，B，F三点的圆的圆心坐标为，
半径，
∵过A，B，F三点的圆恰好与直线3x-y+3=0相切，
所以圆心到直线3x-y+3=0的距离等于半径r，即，
得c=1，
∴，所以椭圆的方程为．
圆M的方程为．
点评：本题主要考查了椭圆的应用．注意圆锥曲线之间相交和相切的关系，根据这些关系找到解决问题的途径．