题目内容

在平面直角坐标系xoy中，动点P在椭圆C1：+y2=1上，动点Q是动圆C2：x2+y2=r2（1＜r＜2）上一点．
（1）求证：动点P到椭圆C1的右焦点的距离与到直线x=2的距离之比等于椭圆的离心率；
（2）设椭圆C1上的三点A（x1，y1），B（1，），C（x2，y2）与点F（1，0）的距离成等差数列，线段AC的垂直平分线是否经过一个定点为？请说明理由．
（3）若直线PQ与椭圆C1和动圆C2均只有一个公共点，求P、Q两点的距离|PQ|的最大值．
【答案】分析：（1）设动点P（x，y），则，根据两点间距离公式、点到直线的距离公式即可计算得到右焦点的距离与到直线x=2的距离之比等于椭圆的离心率；
（2）由（1）结论可用离心率及点A、B、C横坐标表示|AF|、|BF|、|CF|，由其成等差数列可得x1+x2=2，由A，C在椭圆上得，，两式相减整理得直线AC斜率，设线段AC的中点（m，n），由点斜式可得AC垂直平分线方程，由中点坐标公式可把该垂直平分线方程化为知含参数n的方程，据此可得定点．
（3）易知直线PQ的斜率存在，设直线方程为y=kx+m，设P（x1，y1），Q（x2，y2），由得，由直线与椭圆相切得△=0，x1=-①，由直线PQ与圆C2相切，则②，联立①②可消掉m，由勾股定理可把|PQ|2表示为r的函数，再用基本不等式可得其最大值；
解答：（1）证明：设动点P（x，y），则，
右焦点的距离与到直线x=2的距离之比为：
==，
而a=，c=1，所以离心率e=，
故动点P到椭圆C1的右焦点的距离与到直线x=2的距离之比等于椭圆的离心率；
（2）由（1）可得|AF|=，|BF|=，|CF|=，
因为2|BF|=|AF|+|CF|，
所以=2×，即得x1+x2=2，
因为A，C在椭圆上，故有，，两式相减整理得：
=-，
设线段AC的中点（m，n），而m==1，n=，
所以与直线AC垂直的直线斜率为k′AC=y2+y1=2n，
则AC垂直平分线方程为y-n=2n（x-1），即y=n（2x-1）经过定点（，0）；
（3）依题意知，直线PQ的斜率显然存在，设直线方程为y=kx+m，设P（x1，y1），Q（x2，y2），
由于直线方程PQ与椭圆C1相切，点P为切点，从而有
由得，
故△=（4km）2-4×2（m2-1）（2k2+1）=0，从而可得m2=1+2k2，x1=-①，
直线PQ与圆C2相切，则，得m2=r2（1+k2）②，
由①②得，且-r2=+（1-）-r2
=1+-r2=1+-r2=3-r2，即|PQ|≤-1，
当且仅当时取等号，
故P、Q两点的距离|PQ|的最大值为-1．
点评：本题考查直线方程、椭圆方程及其位置关系，考查学生综合运用所学知识分析解决问题的能力，本题综合性强，难度大．
练习册系列答案
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在平面直角坐标系xoy中，已知圆心在直线y=x+4上，半径为2
2
的圆C经过坐标原点O，椭圆
x2
a2
+
y2
9
=1(a＞0)与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10．
（1）求圆C的方程；
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3
5
，点B的纵坐标是
12
13
，则sin（α+β）的值是
16
65
16
65
．
在平面直角坐标系xOy中，若焦点在x轴的椭圆
x2
m
+
y2
3
=1的离心率为
1
2
，则m的值为
4
4
．
（2013•泰州三模）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，已知A（0，1），B（0，-1），C（t，0），D(
3t
，0)，其中t≠0．设直线AC与BD的交点为P，求动点P的轨迹的参数方程（以t为参数）及普通方程．
（2013•东莞一模）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左焦点为F1（-1，0），且椭圆C的离心率e=
1
2
．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆C的上下顶点分别为A1，A2，Q是椭圆C上异于A1，A2的任一点，直线QA1，QA2分别交x轴于点S，T，证明：|OS|•|OT|为定值，并求出该定值；
（3）在椭圆C上，是否存在点M（m，n），使得直线l：mx+ny=2与圆O：x2+y2=
16
7
相交于不同的两点A、B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的△OAB的面积；若不存在，请说明理由．

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