Question

11．已知点A（0，2），抛物线${C_1}：{y^2}=ax\;（a＞0）$的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，若|FM|：|MN|=1：5，则a的值等于$\frac{{2\sqrt{6}}}{3}$．

Answer 1

分析 作出M在准线上的射影，根据|KM|：|MN|确定|KN|：|KM|的值，进而列方程求得a．

解答 解：依题意F点的坐标为（ $\frac{a}{4}$，0），
设M在准线上的射影为K，由抛物线的定义知|MF|=|MK|，
∴|KM|：|MN|=1：5，
则|KN|：|KM|=2$\sqrt{6}$：1，
∵k_FN=$\frac{0-2}{\frac{a}{4}-0}$=-$\frac{8}{a}$，k_FN=-2$\sqrt{6}$
∴$\frac{8}{a}$=2$\sqrt{6}$，求得a=$\frac{{2\sqrt{6}}}{3}$．
故答案为：$\frac{{2\sqrt{6}}}{3}$．

点评 本题主要考查了抛物线的简单性质．抛物线中涉及焦半径的问题常利用抛物线的定义转化为点到准线的距离来解决．