Question

19．已知抛物线E：y=ax²上三个不同的点A（1，1），B、C满足关系式$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}$=0．
（1）求抛物线E的方程；
（2）求△ABC的外接圆面积的最小值及此时△ABC的外接圆的方程．

Answer 1

分析 （1）点A（1，1），代入抛物线E：y=ax²，求出a，可得抛物线E的方程；
（2）$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}$=0，可得AB⊥BC，从而△ABC的外接圆的直径为|AC|，要使△ABC的外接圆面积最小，须|AC|最小，利用导数知识确定函数的单调性，即可得出结论．

解答 解：（1）∵1=a×1²，
∴a=1，
∴抛物线E的方程为y=x²…（2分）
（2）设$B（{x_1}，x_1^2）$，$C（{x_2}，x_2^2）$，则
$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}$=0$⇒（{x_1}-1）（{x_2}-{x_1}）+（x_1^2-1）（x_2^2-x_1^2）=0$
∵x₁≠1，x₁≠x₂，
∴1+（x₁+1）（x₁+x₂）=0，且x₁≠-1，
∴${x_2}=-（{x_1}+1+\frac{1}{{{x_1}+1}}）+1$
当x₁+1＞0时，x₂≤-1；当x₁+1＜0时，x₂≥3，
∴x₂∈（-∞，-1]∪[3，+∞）…（5分）
∵$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}$=0，
∴AB⊥BC，从而△ABC的外接圆的直径为|AC|
要使△ABC的外接圆面积最小，须|AC|最小．
∵$|AC|=\sqrt{{{（{x_2}-1）}^2}+{{（x_2^2-1）}^2}}=\sqrt{x_2^4-x_2^2-2{x_2}+2}$
令f（x）=x⁴-x²-2x+2，x∈（-∞，-1]∪[3，+∞）
∴f'（x）=4x³-2x-2=（x-1）（4x²+4x+2）=（x-1）[（2x+1）²+1]，
∴x∈（-∞，-1]时，f'（x）＜0，f（x）递减；x∈[3，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）递增
又f（-1）=4，f（3）=68，
∴|AC|_min=2，此时x₂=-1…（9分）
∴r=1，△ABC的外接圆面积S_min=π．…（10分）
∵x₂=-1，
∴C（-1，1），
∴△ABC的外接圆的圆心为（0，1），半径r=1，
∴△ABC的外接圆方程为x²+（y-1）²=1…（12分）

点评 本题考查抛物线的方程，考查向量、导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．