Question

6．已知抛物线C：y²=4x的焦点为F，直线AB过点与抛物线C交抛物线于A，B两点，且AB=6，若AB的垂直平分线交x轴于P点，则|$\overrightarrow{OP}$|=4．

Answer 1

分析 先根据抛物线方程求出焦点坐标，直线y=k（x-1）代入y²=4x，运用韦达定理和中点坐标公式，再由抛物线的性质求出AB的垂直平分线方程，令y=0，计算可得到答案．

解答 解：抛物线y²=4x的焦点F（1，0），
设经过点F的直线y=k（x-1）与抛物线相交于A、B两点，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
直线y=k（x-1）代入y²=4x，整理可得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
可得x₁+x₂=2+$\frac{4}{{k}^{2}}$，
利用抛物线定义，x₁+x₂=|AB|-p=6-2=4．
可得AB中点横坐标为2，
由2+$\frac{4}{{k}^{2}}$=4，解得k=±$\sqrt{2}$，
AB中点纵坐标为k，AB的垂直平分线方程为y-k=-$\frac{1}{k}$（x-2），
令y=0，可得x=4，
即有|$\overrightarrow{OP}$|=4．
故答案为：4．

点评 本题主要考查了抛物线的定义、性质，属中档题．解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用，确定AB的垂直平分线方程是关键．