Question

11．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的外接圆半径R=$\sqrt{2}$，且tanB+tanC=$\frac{\sqrt{2}sinA}{cosC}$
（1）求B和b的值；
（2）求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）由已知利用同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理可求cosB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，可得B的值，进而由正弦定理可得b的值，
（2）由余弦定理和基本不等式可求出ac≤2（2+$\sqrt{2}$），再根据三角形的面积公式计算即可

解答 解：（1）∵tanB+tanC=$\frac{\sqrt{2}sinA}{cosC}$，
∴$\frac{sinB}{cosB}$+$\frac{sinC}{cosC}$=$\frac{\sqrt{2}sinA}{cosC}$，
∴sinBcosC+cosBsinC=$\sqrt{2}$sinAcosB，
即sin（B+C）=$\sqrt{2}$sinAcosB，
∵A+B+C=π，
∴sinA=$\sqrt{2}$sinAcosB
∵sinA≠0，
∴cosB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴B=$\frac{π}{4}$．
又∵△ABC的外接圆半径为R=$\sqrt{2}$，
∴由正弦定理$\frac{b}{sinB}$=2R，可得：b=2×$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=2．
（2）由余弦定理的b=a²+c²-2accosB，
∴4=a²+c²-$\sqrt{2}$ac，
由基本不等式，得4=a²+c²-$\sqrt{2}$ac≥2ac-$\sqrt{2}$ac，
∴ac≤$\frac{4}{2-\sqrt{2}}$=2（2+$\sqrt{2}$），
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{\sqrt{2}}{4}$ac≤$\frac{\sqrt{2}}{4}$×2（2+$\sqrt{2}$）=1+$\sqrt{2}$，
故△ABC面积的最大值1+$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，正弦定理，三角形的面积公式和基本不等式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．