Question

如图，⊙O内切于△ABC的边于D，E，F，AB=AC，连接AD交⊙O于点H，直线HF交BC的延长线于点G．
（1）求证：圆心O在直线AD上；
（2）若BC=2，求GC的长．

Answer 1

考点：与圆有关的比例线段

专题：立体几何

分析：（I）由已知条件得CF=BE，CD=BD，由△ABC是等腰三角形，得AD是∠CAB的平分线，由此能证明圆心O在直线AD上．
（II）连接DF，由已知条件得∠FDH+FHD=90°，∠G=∠FDH，由此能求出GC的长．

解答： （I）证明：∵AB=AC，AF=AE
∴CF=BE…（2分）
又CF=CD，BD=BE，∴CD=BD…（4分）
又△ABC是等腰三角形
∴AD是∠CAB的平分线
∴圆心O在直线AD上…（6分）
（II）解：连接DF，由（I）知，DH是⊙O的直径
∴∠DFH=90°，∴∠FDH+FHD=90°…（7分）
又∠G+∠FHD=90°，∴∠G=∠FDH…（8分）
∵⊙O与AC相切于点F，∴∠AFH=∠GFC=∠FDH
∴∠GFC=∠G…（10分）
∴CG=CF=CD=DB
由BC=2，得GC=1．…（12分）

点评：本题考查圆心在直线上的证明，考查线线段长的求法，解题时要认真审题，注意圆的简单性质的合理运用．