题目内容

19．已知函数f（x）=x+xlnx，若m∈Z，且（m-2）（x-2）＜f（x）对任意的x＞2恒成立，则m的最大值为（　　）
A．4B．5C．6D．8

分析 令g（x）=f（x）-（m-2）（x-2）=x+xlnx-（m-2）（x-2），x＞2．g（2）=2+2ln2＞0．等价于g（x）min＞0，x＞2时，g′（x）=2+lnx-（m-2）=4+lnx-m，只考虑m＞0，对M分类讨论即可得出．

解答 解：令g（x）=f（x）-（m-2）（x-2）=x+xlnx-（m-2）（x-2），x＞2．g（2）=2+2ln2＞0．
g′（x）=2+lnx-（m-2）=4+lnx-m，
只考虑m＞0，
①0＜m≤4+ln2，m∈Z时，g′（x）=4+lnx-m＞0，函数g（x）在x＞2时单调递增，g（x）＞g（2）＞0．
②m≥4+ln2，即m≥5时，令g′（x）=4+lnx-m=0，解得x=em-4．
则x=em-4时，函数g（x）取得极小值即最小值，g（em-4）=em-4（1+m-4）-（m-2）（em-4-2），
则g（em-4）=em-4（1+m-4）-（m-2）（em-4-2）＞0，化为：em-4＜2（m-2）．
m=5，6时成立，m=7时，e3＞10，即em-4＜2（m-2）不成立．
因此m的最大值为6．
故选：C．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

练习册系列答案
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