Question

15．椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的左、右顶点分别为A₁，A₂，点P在C上且直线PA₂斜率的取值范围是[-2，-1]，求直线PA₁斜率的取值范围．

Answer 1

分析 由题意求A₁、A₂的坐标，设出点P的坐标，代入求斜率，进而求PA₁斜率的取值范围．

解答 解：由椭圆的标准方程可知，
左右顶点分别为A₁（-2，0）、A₂（2，0），
设点P（a，b）（a≠±2），则$\frac{{a}^{2}}{4}+\frac{{b}^{2}}{3}=1$，
${k}_{P{A}_{1}}$=$\frac{b}{a+2}$，${k}_{P{A}_{2}}$=$\frac{b}{a-2}$；
则${k}_{P{A}_{1}}$${k}_{P{A}_{2}}$=$\frac{b}{a+2}$•$\frac{b}{a-2}$=$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}-4}$=-$\frac{3}{4}$
∵${k}_{P{A}_{2}}$∈[-2，-1]，
∴${k}_{P{A}_{1}}$∈[$\frac{3}{8}$，$\frac{3}{4}$]．

点评 本题考查了圆锥曲线的简单性质应用，同时考查了直线的斜率公式及学生的化简能力，属于中档题．