Question

12．已知实数x，y满足x²+2y²=4，求$\frac{|2x+\frac{2{y}^{2}}{x}|}{\sqrt{（y-2）^{2}+（x+\frac{2y}{x}）^{2}}}$的值．

Answer 1

分析 由条件可得y²=$\frac{4-{x}^{2}}{2}$，将原式化简整理，代入计算即可得到所求值．

解答 解：由x²+2y²=4，可得y²=$\frac{4-{x}^{2}}{2}$，
原式=$\frac{2|{x}^{2}+{y}^{2}|}{\sqrt{{x}^{2}（{y}^{2}-4y+4）+{x}^{4}+4{y}^{2}+4{x}^{2}y}}$
=$\frac{2|{x}^{2}+{y}^{2}|}{\sqrt{4（{x}^{2}+{y}^{2}）+{x}^{2}（{x}^{2}+{y}^{2}）}}$=$\frac{2|{x}^{2}+{y}^{2}|}{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}•\sqrt{4+{x}^{2}}}$
=$\frac{2\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}{\sqrt{4+{x}^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{{x}^{2}+2-\frac{{x}^{2}}{2}}}{\sqrt{4+{x}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}•\sqrt{4+{x}^{2}}}{\sqrt{4+{x}^{2}}}$=$\sqrt{2}$．

点评 本题考查给出条件化简求值，考查运算能力，属于中档题．