Question

已知函数f（x）=ae^2x-be^-2x-cx（a，b，c∈R）的导函数f′（x）为偶函数，且曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线的斜率为4-c．
（Ⅰ）确定a，b的值；
（Ⅱ）若c=3，判断f（x）的单调性；
（Ⅲ）若f（x）有极值，求c的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）根据函数f（x）=ae^2x-be^-2x-cx（a，b，c∈R）的导函数f′（x）为偶函数，且曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线的斜率为4-c，构造关于a，b的方程，可得a，b的值；
（Ⅱ）将c=3代入，利用基本不等式可得f′（x）≥0恒成立，进而可得f（x）在定义域R为均增函数；
（Ⅲ）结合基本不等式，分c≤4时和c＞4时两种情况讨论f（x）极值的存在性，最后综合讨论结果，可得答案．

解答： 解：（Ⅰ）∵函数f（x）=ae^2x-be^-2x-cx（a，b，c∈R）
∴f′（x）=2ae^2x+2be^-2x-c，
由f′（x）为偶函数，可得2（a-b）（e^2x-e^-2x）=0，
即a=b，
又∵曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线的斜率为4-c，
即f′（0）=2a+2b-c=4-c，
故a=b=1；
（Ⅱ）当c=3时，f′（x）=2e^2x+2e^-2x-3≥2

2e2x•2e-2x

-3=1＞0恒成立，
故f（x）在定义域R为均增函数；
（Ⅲ）由（Ⅰ）得f′（x）=2e^2x+2e^-2x-c，
而2e^2x+2e^-2x≥2

2e2x•2e-2x

=4，当且仅当x=0时取等号，
当c≤4时，f′（x）≥0恒成立，故f（x）无极值；
当c＞4时，令t=e^2x，方程2t+

2

t

-c=0的两根均为正，
即f′（x）=0有两个根x₁，x₂，
当x∈（x₁，x₂）时，f′（x）＜0，当x∈（-∞x₁）∪（x₂，+∞）时，f′（x）＞0，
故当x=x₁，或x=x₂时，f（x）有极值，
综上，若f（x）有极值，c的取值范围为（4，+∞）．

点评：本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程，利用导数研究函数的单调性，是导数的综合应用，难度中档．