Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，点O是对角线AC与BD的交点，M是PD的中点，AB=2，∠BAD=60°．
（1）求证：OM∥平面PAB；
（2）求证：平面PBD⊥平面PAC；
（3）当四棱锥P-ABCD的体积等于

3

时，求PB的长．

Answer 1

分析：（1）利用三角形中位线的性质，证明线线平行，从而可得线面平行；
（2）先证明BD⊥平面PAC，即可证明平面PBD⊥平面PAC；
（3）利用四棱锥P-ABCD的体积等于

3

时，求出四棱锥P-ABCD的高为PA，利用PA⊥AB，即可求PB的长．

解答：（1）证明：∵在△PBD中，O、M分别是BD、PD的中点，∴OM是△PBD的中位线，∴OM∥PB，…（1分）
∵OM?平面PBD，PB?平面PBD，…（3分）
∴OM∥平面PAB．…（4分）
（2）证明：∵底面ABCD是菱形，∴BD⊥AC，…（5分）
∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴BD⊥PA．…（6分）
∵AC?平面PAC，PA?平面PAC，AC∩PA=A，∴BD⊥平面PAC，…（8分）
∵BD?平面PBD，
∴平面PBD⊥平面PAC．…（10分）
（3）解：∵底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°，
∴菱形ABCD的面积为S菱形ABCD=2×

1

2

×AB×AD×sin60°=2×2×

3

2

=2

3

，…（11分）
∵四棱锥P-ABCD的高为PA，∴

1

3

×2

3

×PA=

3

，得PA=

3

2

…（12分）
∵PA⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，∴PA⊥AB．…（13分）
在Rt△PAB中，PB=

PA2+AB2

=

( 3 2 )2+22

=

5

2

．…（14分）

点评：本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．